domingo, 30 de março de 2014
sábado, 22 de março de 2014
sábado, 1 de março de 2014
segunda-feira, 20 de janeiro de 2014
HISTÓRIA DA GEOMETRIA
HISTÓRIA DA GEOMETRIA
Uma estranha construção feita pelos
antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um
vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras.
Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas
fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação
dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as
bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam
concretizadas nas figuras geométricas.
Uma medida para a vida
As origens da Geometria (do grego medir
a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar
terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os
movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre
dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações
egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente
ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos
lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e
Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo
feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que
data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da
Geometria na Grécia, por importação do Egito.
Pitágoras deu nome a um importante
teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de
demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C.
constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus
conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de
um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso
das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e
proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de
maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a
reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para
toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de
geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios)
dos de Euclides.
O corpo como unidade
As primeiras unidades de medida
referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça,
cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a
ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar
unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de
um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de
madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de
comprimento.
Ângulos e figuras
Tanto entre os sumérios como entre os
egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios
possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos
ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens
já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas
cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e
esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de
circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam
perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.
O problema mais comum para um
construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo
anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está
determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três
cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas
cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O
teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos
quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo
reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.
Qualquer trio de números inteiros ou
não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na
antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.
Para medir superfícies
Os sacerdotes encarregados de arrecadar
os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos
por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores
pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote
deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de
uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim
nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.
Já para descobrir a área do triângulo,
os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para
acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em
quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o
retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o
quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois
triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.
Quando deparavam com uma superfície
irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e
agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação:
começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos
visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções
triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até
hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía
bordos curvos.
De fato, muitos terrenos seguem o
contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma
parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o
comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência
entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os
antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos,
era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto
fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento
dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com
o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a
sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que
cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da
corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma
circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de
uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por
6,28.
E a área do círculo? A história da
Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um
escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual
havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.
Conta a tradição que Ahmes solucionou o
problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular
quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um
qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da
figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de
3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente
dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta
calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a
respectiva área por 3,14.
O número 3,14 é básico na Geometria e
na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o
símbolop ("pi") representa esse número irracional, já
determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome
só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria,
significando circunferência.
Novas figuras
Por volta de 500 a.C., as primeiras
universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras
coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da
Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A
curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um
compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento
foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava
com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e
não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros
eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono,
do grego polygon, que significa "muitos ângulos".
Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de
avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros
aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a
Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver
problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois
merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o
cálculo da altura de uma construção.
No primeiro caso, para calcular, por
exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso
artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o
barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo
de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos
vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º
cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os
dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.
O cálculo da altura de uma construção,
de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente
uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja
igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que
une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a
altura.
Assinar:
Postagens (Atom)